题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C的方程为y=x²，过（0，1）点的直线l与C相交于点A，B，证明：OA⊥OB（O为坐标原点）

答案

证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设其斜率为k，则直线方程为：y=kx+1，
与抛物线方程联立，得

y=kx+1 y=x2

，即x²-kx-1=0，所以x₁x₂=-1．
设交点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由OA⊥OB⇔x₁x₂+y₁y₂=0⇔x1x2+x12x22=0⇔x₁x₂+1=0
由韦达定理可知此式成立．
所以OA⊥OB．