题目

题型：闸北区二模难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点F(

3

2

，

1

2

)的距离与到定直线l1：

3

x+y+2=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M₀（m，0）（m＞2）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，已知曲线C₂上存在不同的两点C、D关于直线l₂对称．问：弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设P（x，y），由题意，可知曲线C₁为抛物线，并且有

(x- 3 2 )2+(y- 1 2 )2

=

1

2

|

3

x+y+2|，
化简，得抛物线C₁的方程为：x2+3y2-2

3

xy-8

3

x-8y=0．
令x=0，得y=0或y=

8

3

，
令y=0，得x=0或x=8

3

，
∴曲线C₁与坐标轴的交点坐标为（0，0）和(0，

8

3

)，(8

3

，0)．
由题意可知，曲线C₁为抛物线，过焦点与准线垂直的直线为y-

1

2

=

1

3

(x-

3

2

)，化为y=

3

3

x．
可知此对称轴过原点，倾斜角为30°．
又焦点F(

3

2

，

1

2

)到l1：y=-

3

x-2的距离为|

3 × 3 2 + 1 2 +2

( 3 )2+12

|=2．
∴C₂是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y²=4x．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由题意知直线l₂的斜率k存在且不为零，设直线l₂的方程为y=k（x-m），则直线CD的方程为y=-

1

k

x+b，
则

y=- 1 k x+b y2=4x.

得y²+4ky-4kb=0，
∴△=16k（k+b）＞0①
∴y₁+y₂=-4k，y₁•y₂=-4kb，
设弦CD的中点为G（x₃，y₃），则y₃=-2k，x₃=k（b+2k）．
∵G（x₃，y₃）在直线l₂上，-2k=k（bk+2k²-m），即b=

m-2-2k2

k

②
将②代入①，得0＜k²＜m-2，
|CD|=

1+(-k)2

•|y1-y2|=

1+k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=4

-(k2- m-3 2 )2+( m-1 2 )2

设t=k²，则0＜t＜m-2．
构造函数f(t)=4

-(t- m-3 2 )2+( m-1 2 )2

，0＜t＜m-2．
由已知m＞2，当

m-2＞0 m-3＜0

，即2＜m≤3时，f（t）无最大值，所以弦长|CD|不存在最大值．
当m＞3时，f（t）有最大值2（m-1），即弦长|CD|有最大值2（m-1）．