已知直线AB与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2=-p2．求证：直线AB经过抛物线的焦点． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知直线AB与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-p²．求证：直线AB经过抛物线的焦点．

答案

证明：设直线AB的方程为：y=kx+b，
由

y=kx+b

y2=2px

，得（kx+b）²=2px，
整理，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1•x2=

，
∵y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，
∴x1x2 =

y12

•

y22

4p2

，
∴k=

，或k=-

，
∴y=

x+b（舍）或y=-

x+b，
当y=0时，x=

．
故直线AB经过抛物线的焦点F（

，0）．

核心考点

试题【已知直线AB与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2=-p2．求证：直线AB经过抛物线的焦点．】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知直线l：y=kx-1与双曲线C：x²-y²=4
（1）如果l与C只有一个公共点，求k的值；
（2）如果l与C的左右两支分别相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且|x1-x2|=2

，求k的值．

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已知抛物线过点A（-1，0），B（1，0），且以圆x²+y²=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（　　）

A．

=1（y≠0）

B．

=1（y≠0）

C．

=1（y≠0）

D．

=1（y≠0）

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若y2=2px(p＞0)的焦点与椭圆

=1的右焦点重合，则抛物线准线方程为（　　）

A．x=-1

B．x=-2

C．x=-

D．x=-4

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选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线L的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

cosa

y=sina

（1）求曲线C的普通方程；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线L的距离的最小值．

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双曲线方程为x²-

=1，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有______条．

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