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题目
题型:不详难度:来源:
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-2,0),左准线l1与x轴交于点N(-3,0),过N点作直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若以AB为直径的圆过点F1,试求直线l的方程.
答案
(1)c=2,
a2
c
=3,a2=6,b2=a2-c2=2

∴椭圆方程为
x2
6
+
y2
2
=1
(4分)
(2)当直线AB⊥x轴时,
与椭圆无公共点,∴可设AB的方程为y=k(x+3)





y=kx+3k
x2+3y2-6=0
x2+3k2(x2+6x+9)-6=0

即(3k2+1)x2+18k2x+27k2-6=0①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=
18k2
3k2+1
x1x2=
27k2-6
3k2+1
(4分)
依题设有,


F1A


F2B
=0

即(x1+2)(x2+2)+y1y2=0(2分)x1x2+2(x1+x2)+4+k2[x1x2+3(x1+x2)+9]=0(k2+1)x1x2+(3k2+2)(x1+x2)+9k2+4=0
(k2+1)(27k2-6)
3k2+1
-
18k2(3k2+2)
3k2+1
+
(9k2+4)(3k2+1)
3k2+1
=0
k2=
1
3
即k=±


3
3
(4分)
k2=
1
3
代入得2x2+6x+3=0,△=36-24>0

k=±


3
3
时问题的解
∴AB的方程为y=±


3
3
(x+3)
(2分)
核心考点
试题【设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-2,0),左准线l1与x轴交于点N(-3,0),过N点作直线l交椭圆于A、B两点.(1)求椭圆的方程】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
附加题:
设A、B是抛物线C:y2=2px(P>0)上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.
(注:实验班必做,普通班选做)
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双曲线的离心率等于


5
2
,且与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1有公共焦点,求此双曲线的方程.
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已知F1,F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点,已知点N(-
a2
c
,0)
,满足


F1F2
=2


NF1
且|


F1F2
|=2
,设A、B是上半椭圆上满足


NA


NB
的两点,其中λ∈[
1
5
1
3
]

(1)求此椭圆的方程;
(2)求直线AB的斜率的取值范围.
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k为何值时,直线y=kx+2和椭圆x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
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以双曲线-3x2+y2=12的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是(  )
A.
x2
16
+
y2
12
=1
B.
x2
16
+
y2
4
=1
C.
x2
12
+
y2
16
=1
D.
x2
4
+
y2
16
=1
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