已知点D（0，-2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为32的椭圆x2a2+y2 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为

的椭圆

=1(a＞b＞0)恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求椭圆方程．

答案

（Ⅰ）设切点A（x₀，y₀），且y0=

x02

，
由切线l的斜率为k=

，得l的方程为y=

x02

，又点D（0，-2）在l上，
∴

x02

=2，即点A的纵坐标y₀=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(-2

，2)，切线斜率k=-

，
设B（x₁，y₁），切线方程为y=kx-2，由e=

，得a²=4b²，…（7分）
所以椭圆方程为

4b2

=1，且过A(-2

，2)，∴b²=p+4…（9分）
由

y=kx-2

x2+4y2=4b2

⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0，∴

x0+x1=

16k

1+4k2

x0x1=

16-4b2

1+4k2

，…（11分）k1+2k2=

2y1

x1y0+2x0y1

x0x1

x1(kx0-2)+2x0(kx1-2)

x0x1

=3k-

2x1+4x0

x0x1

=3k-

2(x1+x0)+2x0

x0x1

=3k-

32k

1+4k2

-4

16-4b2

1+4k2

=3k-

32k-4

(1+4k2)

16-4b2

=4k
将k=-

，b²=p+4代入得：p=32，所以b²=36，a²=144，
椭圆方程为

144

=1．…（15分）

核心考点

试题【已知点D（0，-2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为32的椭圆x2a2+y2】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

直线y=x-1被y²=x截得的弦长为（　　）

A．3

B．2

C．

D．4

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已知椭圆Γ：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在直线l，使得OA⊥OB，O为坐标原点，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

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如图，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C₂：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，C₁与C₂在第一象限的交点为P（

，

）
（1）求抛物线C₁及椭圆C₂的方程；
（2）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C₂交于不同两点A、B，点M满足

，直线FM的斜率为k₁，试证明k•k₁＞

-1

．

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已知椭圆的一个焦点为(

，0)，且长轴长为短轴长的

倍．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的下顶点为A，且椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M，N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

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如图，已知椭圆

=1(a＞b＞0)过点(1，

)，离心率为

，左、右焦点分别为F₁、F₂．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）证明：

=2；
（Ⅱ）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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