已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（2，0）且斜率为63的直线l与椭圆C交于A， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（

，0）且斜率为

的直线l与椭圆C交于A，B两点，求证：

•

=0．

答案

（Ⅰ）由题意可知，

a=2

a2=b2+c2

，解得

a=1，b=1

，
∴椭圆的方程为

+y2=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意可得直线l的方程为：y=

(x-

)．
l联立

(x-

)

+y2=1

消去y得：11x2-16

x+4=0，
∴x1+x2=

，x₁x₂=

．
∴

•

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+

(x1-

)(x2-

x1x2-

(x1+x2)+

=0．
∴

•

=0．

核心考点

试题【已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（2，0）且斜率为63的直线l与椭圆C交于A，】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，已知椭圆E₁方程为

=1(a＞b＞0)，圆E₂方程为x²+y²=a²，过椭圆的左顶点A作斜率为k₁直线l₁与椭圆E₁和圆E₂分别相交于B、C．
（Ⅰ）若k₁=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E₁的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E₁的离心率e=

，F₂为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF₂|=2a时，求k₁的值；
（Ⅲ）设D为圆E₂上不同于A的一点，直线AD的斜率为k₂，当

时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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设抛物线y²=2px（p为常数）的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则

•

=______．

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如图所示的曲线C是由部分抛物线C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲线C₂：x2+

=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直线l与曲线C₁相切于点M，与曲线C₂相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）当t=

时，求m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．

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设双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4，一条渐近线的倾斜角为60°．
（I）求双曲线C的方程和离心率；
（Ⅱ）若点P在双曲线C的右支上，且△PF₁F₂的周长为16，求点P的坐标．

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已知椭圆C的中心为坐标原点，离心率为

，直线ℓ与椭圆C相切于M点，F₁、F₂为椭圆的左右焦点，且|MF1|+|MF2|=2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线m过F₁点，且与椭圆相交于A、B两点，|AF2|+|BF2|=

，求直线m的方程．

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