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题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知椭圆E1方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,圆E2方程为x2+y2=a2,过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C.
(Ⅰ)若k1=1时,B恰好为线段AC的中点,试求椭圆E1的离心率e;
(Ⅱ)若椭圆E1的离心率e=
1
2
,F2为椭圆的右焦点,当|BA|+|BF2|=2a时,求k1的值;
(Ⅲ)设D为圆E2上不同于A的一点,直线AD的斜率为k2,当
k1
k2
=
b2
a2
时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
答案
(I)当k1=1时,点C在y轴上,且C(0,a),则B(-
a
2
a
2
)

由点B在椭圆上,得
(-
a
2
)2
a2
+
(
a
2
)2
b2
=1
,化为
b2
a2
=
1
3

e=
c
a
=


1-
b2
a2
=


6
3

(II)设椭圆的作焦点为F1,由椭圆的定义可知:|BF1|+|BF2|=2a,又|BA|+|BF2|=2a,
∴|BF1|=|BA|,则点B在线段AF1的垂直平分线上,
xB=-
a+c
2

e=
c
a
=
1
2
,∴c=
1
2
a
b=


3
2
a

xB=-
3
4
a
,代入椭圆方程得yB


7
4
b
=±


21
8
a

k1=
yB
xB+a
=±


21
2

(III)直线BD过定点(a,0),证明如下:
设P(a,0),B(xB,yB),则
x2B
a2
+
y2B
b2
=1
(a>b>0).
则kAD•kPB=
a2
b2
k1kPB
=
a2
b2
yB
xB+a
yB
xB-a
=
a2
b2
y2B
x2B
-a2
=
a2
b2
×(-
b2
a2
)=-1

∴PB⊥AD,又PD⊥AD,
∴三点P,B,D共线,即直线BD过定点P(a,0).
核心考点
试题【如图,已知椭圆E1方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆E2方程为x2+y2=a2,过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
设抛物线y2=2px(p为常数)的准线与X轴交于点K,过K的直线l与抛物线交于A、B两点,则


OA


OB
=______.
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如图所示的曲线C是由部分抛物线C1:y=x2-1(|x|≥1)和曲线C2x2+
y2
m
=1
(y≤0,m>0)“合成”的,直线l与曲线C1相切于点M,与曲线C2相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1),其中A(-1,0),B(1,0).
(1)当t=


2
时,求m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求出此时直线l的方程.
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设双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,一条渐近线的倾斜角为60°.
(I)求双曲线C的方程和离心率;
(Ⅱ)若点P在双曲线C的右支上,且△PF1F2的周长为16,求点P的坐标.
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已知椭圆C的中心为坐标原点,离心率为


2
2
,直线ℓ与椭圆C相切于M点,F1、F2为椭圆的左右焦点,且|MF1|+|MF2|=2


2

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线m过F1点,且与椭圆相交于A、B两点,|AF2|+|BF2|=
8


2
3
,求直线m的方程.
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椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点,过原点与线段MN中点的直线的斜率为


2
2
,则
m
n
的值为(  )
A.


2
2
B.
2


2
3
C.
9


2
2
D.
2


3
27
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