抛物线的顶点在原点O，焦点为椭圆x23+y22=1的右焦点F．（1）求抛物线的方程；（2）设点P在抛物线上运动，求P到直线y=x+3的距离的最小值，并求此时点P - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

抛物线的顶点在原点O，焦点为椭圆

=1的右焦点F．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点P在抛物线上运动，求P到直线y=x+3的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

答案

（1）由题知F（1，0）
∴抛物线方程：y²=4x．
（2）解法1：设P（x，y），
则P到直线y=x+3的距离d=

|x-y+3|

，又y²=4x
∴d=

-y+3|

|y2-4y+12|

(y-2)2+8

≥

．
∴当P（1，2）时，dmin=

．
解法2：设l与直线y=x+3平行且与抛物线相切，
即l：y=x+b，由

y=x+b

y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，∵△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1
此时切点P（1，2），P到直线y=x+3的距离最小为

|3-1|

．

核心考点

试题【抛物线的顶点在原点O，焦点为椭圆x23+y22=1的右焦点F．（1）求抛物线的方程；（2）设点P在抛物线上运动，求P到直线y=x+3的距离的最小值，并求此时点P】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，已知圆G：x²+y²-2x-

y=0，经过椭圆

=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为

5π

的直线l交椭圆于C，D两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

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直线l：x-y=0与椭圆

+y²=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为______．

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（备用题）如图，已知椭圆

=1(a＞b＞0)上的点M(1，

)到它的两焦点F₁、F₂的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．
（Ⅰ）求此椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程．

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已知点B（6，0）和点C（-6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k₁，直线m的斜率为k₂，
（1）如果k₁•k₂=-

，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的焦点坐标；
（2）如果k₁•k₂=

，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的离心率；
（3）如果k₁•k₂=k（k≠0，k≠-1），根据（1）和（2），你能得到什么结论？（不需要证明所得结论）

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已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

，0)，右顶点为D（2，0），设点A（1，

）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．

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