题目

题型：不详难度：来源：

已知两定点A、B,一动点P,如果∠PAB和∠PBA中的一个是另一个的2倍,求P点的轨迹方程.

答案

P点轨迹方程为(x+)²－=a²(y≠0).

解析

认真分析题设条件,综合利用平面几何的知识,列出几何等式,再利用解析几何的一些概念、公式、定理等将几何等式坐标化,便得曲线的方程,还要将所得方程化简,使求得的方程是最简单的形式.
∵给出了∠PAB和∠PBA中的一个是另一个的2倍,即∠PAB=2∠PBA或∠PBA="   " 2∠PAB,将k_PA、k_PB代入二倍角公式,即得到P点的轨迹方程.
如下图所示建立直角坐标系.

设A、B两点的坐标分别为(－a,0)、(a,0),P(x,y).
∵k_PA=tanα=,                                                                                              ①
k_PB=tan(180°－β)=－tanβ=－,                                                               ②
当α=2β时,tanα=.                                                                              ③
将①②代入③,得=.
化简后得P点的轨迹方程为(x－)²－=a²(y≠0).
当点P在y轴右侧时,即β=2α,同时可得P点轨迹方程为(x+)²－=a²(y≠0).