题目

题型：不详难度：来源：

已知向量，动点到定直线的距离等于，并且满足，其中为坐标原点，为非负实数.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若将曲线向左平移一个单位，得曲线，试判断曲线为何种类型；
（3）若（2）中曲线为圆锥曲线，其离心率满足，当是曲线的两个焦点时，则圆锥曲线上恒存在点，使得成立，求实数的取值范围.

答案

（1）（2）见解析（3）

解析

（1）设动点，则由，为坐标原点，得

由，得为所求的动点的轨迹方程；
（2）将曲线向左平移一个单位，得曲线的方程为（）
①当时，得，曲线为一条直线；
②当时，得.若，曲线为圆；若，曲线为双曲线；若，曲线为焦点在轴上的椭圆；
（3）若（2）中曲线为圆锥曲线，其离心率满足，则曲线为焦点在轴上的椭圆，
圆锥曲线上恒存在点，使得成立，
即以为直径的圆与椭圆恒有交点.
综上得实数的取值范围为.