题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分14分)
已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为，过点M（0，）与x轴不垂直的直线交椭圆于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.

答案

(1)  (2)先假设存在，联立方程组，利用·可以求出存在
N(0,1)满足要求

解析

试题分析：(1)因为离心率为，又，∴a=，c=1,
故b=1，故椭圆的方程为.                                     ……4分
(2)由题意设直线的方程为y=kx－,
联立方程得(2k²+1)x²－kx－=0，
设P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，
则x₁+x₂=，x_1·x₂=，                                   ……8分
假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则
 ，，
·= x₁x₂+(y₁－m)(y₂－m)= x₁x₂+ y₁y₂－m(y₁+y₂) +m²
= x₁x₂+(kx₁－)( kx₂－)－m(kx₁－+ kx₂－) +m²
=(k²+1) x₁x₂－k(+m)(x₁+x₂)+m²+m+
=－k(+m)+m²+m+
=，                                         ……12分
由假设得对于任意的k∈R，·=0恒成立，
即解得m=1，
因此，在y轴上存在定点N，
使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为(0,1).                      ……14分
点评：对于探究性问题，一般是先假设存在，然后计算，如果能求出，则说明存在，如果求不出或得出矛盾，则说明不存在.