题目

题型：不详难度：来源：

椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________．

答案

解析

试题分析：设椭圆的右焦点为E．如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2a．
此时直线x=m=c=a；
把x=a代入椭圆
的方程得：y=±．
∴AB=3a．
所以：△FAB的面积等于：S_△FAB=×3a×2a=．
点评：在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．