题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点(1，)，离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)直线x＋y＋1＝0与椭圆E相交于A、B(B在A上方)两点，问是否存在直线l，使l与椭圆相交于C、D(C在D上方)两点且ABCD为平行四边形，若存在，求直线l的方程与平行四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

答案

（1）＝1．（2）

解析

试题分析：解：(Ⅰ)设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，由题意可得
解得a²＝4，b²＝3．
∴椭圆的方程为＝1．                                   ……4分
(Ⅱ)由于直线x＋y＋1＝0过椭圆的左焦点F₁(－1,0)，且斜率为－1，由对称性可知，存在直线l过椭圆的右焦点F₂(1,0)，且斜率为－1的直线l：x＋y－1＝0符合题意．
直线x＋y＋1＝0与直线x＋y－1=0的距离为d＝＝．         ……7分
联立得7x²－8x－8＝0．
设C(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－．                 ……9分
|CD|＝×＝×＝．
故平行四边形ABCD的面积S＝×＝．                 ……12分
点评：对于圆锥曲线方程的求解，一般应用待定系数法来得到。同时要采用设而不求的联立方程组的思想，研究直线与圆锥曲线的位置关系。