题目
题型:不详难度:来源:
(1)求的顶点的轨迹的方程;
(2)不过点的直线与轨迹交于不同的两点、,当时,求与的关系,并证明直线过定点.
答案
解析
试题分析:(1)设点坐标为,
因为为的重心,故点坐标为.
由点在轴上且知,点的坐标为, ……2分
因为,所以,即.
故的顶点的轨迹的方程是. ……4分
(2)设直线与的两交点为.
由消去得,
则,
且,. ……8分
因为,所以,
故,
整理得.解得. ……10分
①当时=,直线过点(-1,0)不合题意舍去。
②当时,=,直线过点.
综上所述,直线过定点. ……12分
点评:求曲线方程时,不要忘记验证是否有限制条件;解决直线与圆锥曲线的位置关系时,一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组,此时不要忘记验证判别式大于零.
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,的两个顶点、的坐标分别是(-1,0),(1,0),点是的重心,轴上一点满足,且.(1)求的顶点的轨迹的方程;(2)不过点的直线与轨迹交于不同】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求弦长AB;
(2)求过A、B两点且面积最小的圆的方程.
已知椭圆的离心率,过点和的直线与原点的距离为。⑴求椭圆的方程;⑵已知定点,若直线与椭圆交于两点,问:是否存在的值,使以为直径的圆过点?请说明理由。
如图,椭圆长轴端点为,为椭圆中心,为椭圆的右焦点,
且,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,问:是否存在直线,使点恰为的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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