题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点到两定点F₁和F₂的距离之和为，设点的轨迹是曲线.(1)求曲线的方程；   (2)若直线与曲线相交于不同两点、(、不是曲线和坐标轴的交点)，以为直径的圆过点，试判断直线是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

答案

(1)   ；（2）直线过定点，定点坐标为．

解析

试题分析：(1)设，由椭圆定义可知，
点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为2的椭圆．
它的短半轴长，故曲线的方程为： 
（2）设．
联立  消去y，整理得，
则 
又．
因为以为直径的圆过点，，即．
．
．
．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
点评：典型题，关于椭圆的考查，往往以这种“连环题”的形式出现，首先求标准方程，往往不难。而涉及在直线与椭圆的位置关系，往往要利用韦达定理，实现“整体代换”。