题目
题型:不详难度:来源:
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这
样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由
答案
(2) 线段的长度取最小值
(3)或
解析
试题分析:(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,从而
由得0
设则得,从而
即又
由得
故
又
当且仅当,即时等号成立
时,线段的长度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,
此时的方程为
要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或
点评:解决该试题的关键是利用已知中的性质得到其方程,同时能结合韦达定理来得到弦长,同时能结合直线方程和点到直线的距离得到探索性问题。
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于两点。(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)求线段】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
线段恰被抛物线平分.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)过点作直线交抛物线于两点,设直线、、的斜率分别为、、,问能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线的方程;若不能,请说明理由.
如图,已知抛物线的焦点为.过点的直线交抛物线于,两点,直线,分别与抛物线交于点,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)记直线的斜率为,直线的斜率为.证明:为定值.
(1)若椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1,求椭圆的标准方程;
(2)若直线与(1)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点),且满足,求证:直线过定点,并求出该点的坐标。
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