题目
题型:不详难度:来源:
(1)求直线的斜率;
(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.
答案
(2) 显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.,那么设出点M的坐标,结合向量的坐标关系来证明。
解析
试题分析:解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.
从而椭圆的方程可化为:
① 知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:. ②由①,②有:.
③设,弦的中点,由③及韦达定理有:
所以,即为所求. 5分
(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:
,故. 7分
又因为点在椭圆上,所以有整理可得:
. ④
由③有:.所以
⑤又点在椭圆上,故有 .
⑥将⑤,⑥代入④可得:. 11分
所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.
所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点 ,总存在,使得等式成立. 13分
点评:解决的关键是根据椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档题。
核心考点
试题【已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.(1)求直线的斜率;(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
(1)若点的坐标为是双曲线的一条渐近线上的点,求以、为焦点且经过点的椭圆的方程;
(2)若∠,求△的外接圆的方程;
(3)若在给定直线上任取一点,从点向(2)中圆引一条切线,切点为. 问是否存在一个定点,恒有?请说明理由.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F是双曲线的右焦点,直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q,点M为线段PQ的中点.若点M在直线x=-2上的射影为N,满足·=0,且||=10,求直线l的方程.
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