题目
题型:不详难度:来源:
(1)写出焦点的坐标;
(2)过点的直线与抛物线相交于两点,且,求直线的斜率;
(3)若线段是过抛物线焦点的两条动弦,且满足,如图所示.求四边形面积的最小值.
答案
解析
试题分析:(1)∵抛物线方程为(a>0),∴焦点为F(a,0).
(2)设满足题意的点为P(x0,y0)、Q(x1,y1).
∵,
∴(a-x0,-y0)=2(x1-a,y1),即.
又y12=4ax1,y02=4ax0,
∴,进而可得x0=2a,,即y0=±2a.
∴.
(3) 由题意可知,直线AC不平行于x轴、y轴(否则,直线AC、BD与抛物线不会有四个交点)。
于是,设直线AC的斜率为. 12分
联立方程组,化简得(设点),则是此方程的两个根.
. 13分
弦长
=
=
=. 15分
又,.. 16分
=,当且仅当时,四边形面积的最小值.18分
点评:中档题,涉及曲线的位置关系问题,往往通过联立方程组,消元后,应用韦达定理,简化运算过程。本题(2)通过应用平面向量共线的条件,利用“代入法”,得到的关系,进一步求得直线的斜率。(3)利用函数的观点及均值定理,确定得到面积的最小值。应用均值定理要注意“一正,二定,三相等”,缺一不可。
核心考点
试题【已知抛物线(且为常数),为其焦点.(1)写出焦点的坐标;(2)过点的直线与抛物线相交于两点,且,求直线的斜率;(3)若线段是过抛物线焦点的两条动弦,且满足,如图】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C.或 | D.或 |
A. | B. | C. 1 | D.2 |
(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;
(Ⅱ)过抛物线上的动点作抛物线的两条切线、, 切点为、.若、的斜率乘积为,且,求的取值范围.
(I)已知在极坐标(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,点的极坐标为(4,),判断点与直线的位置关系;
(II)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
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