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题目
题型:不详难度:来源:
(13分)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m,要求通行车辆限高5m,隧道全长2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为3米,隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。

(1)若最大拱高h为6 m,则隧道设计的拱宽是多少?
(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小,则应如何设计拱高h和拱宽?(已知:椭圆+=1的面积公式为S=,柱体体积为底面积乘以高。)
(3)为了使隧道内部美观,要求在拱线上找两个点M、N,使它们所在位置的高度恰好是限高5m,现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点,用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭,形成一个梯形,若l=30m,梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍,试确定M、N的位置以及的值,使总造价最少。
答案
(1)m;(2)当拱高为(+3)m、拱宽为20m时,隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小;(3),.
解析

试题分析:(1)先建立直角坐标系,找到对应椭圆方程再把b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程,即可求出隧道设计的拱宽l是多少;
(2)转化为求半椭圆的面积最小值问题,对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面积以及满足要求的拱高h和拱宽l.
(3)先求出总造价的表达式,再利用导函数研究其最值即可.
试题解析:解:(1)如下图建立直角坐标系,则点P(10,2),椭圆方程为+=1,将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=,隧道的拱宽约为m。 5分
(2)要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小,由柱体的体积公式可知:只需半椭
圆的面积最小即可。
由椭圆方程+=1,得+=1。因为+,即ab≥40,…8分
所以半椭圆面积S=。当S取最小值时,有==,得a=10,b=,此时l=2a=20,  h=b+3=+3,故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时,隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小                             13分
(3)设
=+·
=2(10),则
或17(舍)∴时,取最小值,此时,代入椭圆方程得  ∴…           13分
核心考点
试题【(13分)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m,要求通行车辆限高5m,隧道全长2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为3米,隧道上部拱线近似地看成】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由。
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(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率,一条准线方程为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若以>0)为斜率的直线与椭圆相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围。
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(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为在椭圆C上,A,B为椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆C的方程:
(2)若P是椭圆上异于A,B的动点,连结AP,PB并延长,分别与右准线相交于M1,M2.问是否存在x轴上定点D,使得以M1M2为直径的圆恒过点D?若存在,求点D的坐标:若不存在,说明理由.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆长轴上的一个动点,过作方向向量的直线交椭圆两点,求证:为定值.
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已知为椭圆的左、右焦点,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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