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题目
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(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由。
答案

解析

试题分析:(1)根据离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,易求出a,b的值,得到椭圆C的方程.
(2)设出直线AB的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系,求得四边形APBQ的面积,从而可求四边形APBQ面积的最大值;
(3)设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系,即可求得得出AB的斜率为定值.
试题解析:(1)设C方程为(a>b>0),则。由,得  故椭圆C的方程为。   4分
(2)①设),B(),直线AB的方程为,代入中整理得,△>0-4<<4,+==
四边形APBQ的面积=,当
②当时,PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为,则PB的斜率为-,PA的直线方程为,代入中整理得
+=0,2+=
同理2+=+==
从而=,即直线AB的斜率为定值     13分
核心考点
试题【(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率,一条准线方程为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若以>0)为斜率的直线与椭圆相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围。
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(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为在椭圆C上,A,B为椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆C的方程:
(2)若P是椭圆上异于A,B的动点,连结AP,PB并延长,分别与右准线相交于M1,M2.问是否存在x轴上定点D,使得以M1M2为直径的圆恒过点D?若存在,求点D的坐标:若不存在,说明理由.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆长轴上的一个动点,过作方向向量的直线交椭圆两点,求证:为定值.
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已知为椭圆的左、右焦点,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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是以原点为中心,焦点在轴上的等轴双曲线在第一象限部分,曲线在点P处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于两点,则(   )
A.B.
C.D.

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