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题目
题型:不详难度:来源:
已知圆过定点,圆心在抛物线上,为圆轴的交点.
(1)当圆心是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长.
(2)当圆心在抛物线上运动时,是否为一定值?请证明你的结论.
(3)当圆心在抛物线上运动时,记,求的最大值,并求出此时圆的方程.
答案
(1);(2)是定值,为2;(3)取得最大值,此时圆的方程为
解析

试题分析:(1)这是关于圆的基本计算问题,圆心是抛物线的顶点,又圆过点,可得圆半径为,就得出了圆的方程,抛物线的准线为,与圆相交弦长可用直角三角形法求解,弦心距,弦的一半,相应半径可构成一个直角三角形,应用勾股定理易得;(2)圆心在抛物线上运动,可设圆心坐标为,与(1)同法可得弦长,当然本题中弦在轴上,故可在圆方程中令,求出,也即求出为定值;(3)根据圆的性质,由(2)可得两点的坐标为,这样就可用来表示,可求得时,有时,利用基本不等式有,从而(当且仅当,即时等号成立),故所求最大值为
试题解析:(1)抛物线的顶点为,准线方程为,圆的半径等于1,圆的方程为.弦长         4分
(2)设圆心,则圆的半径
的方程是为:    6分
,得,得
是定值.      8分
(3)由(2)知,不妨设
.      11分
时,.      12分
时,
当且仅当时,等号成立          14分
所以当时,取得最大值,此时圆的方程为
16分
核心考点
试题【已知圆过定点,圆心在抛物线上,、为圆与轴的交点.(1)当圆心是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长.(2)当圆心在抛物线上运动时,是否为一定值?请证明你】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆,椭圆的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆上, ,求直线的方程.
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如图,已知抛物线和⊙,过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点到抛物线准线的距离为

(1)求抛物线的方程;
(2)当的角平分线垂直轴时,求直线的斜率;
(3)若直线轴上的截距为,求的最小值.
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已知椭圆)的右焦点为,离心率为.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.
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椭圆与双曲线有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线于M、N两点,且
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
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已知椭圆的左、右焦点分别为,且,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点.
(1)求椭圆方程;
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点M、N,又点,当时,求实数m的取值范围,
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