题目
题型:不详难度:来源:
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线(直线、不重合),若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,使点到、的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系等数学知识,考查分析问题解决问题的能力和计算能力,考查函数思想和分类讨论思想.第一问,设出点坐标,用代数法解题,得到向量和的坐标,利用向量的数量积得出表达式,求出最小值,即可解出的值,即确定了的值,写出椭圆的方程;第二问,由于直线与椭圆相切,所以直线与椭圆方程联立消参,得出方程的判别式等于0,得出,同理,得出,所以,因为两直线不重合,所以,若存在点,利用点到直线的距离公式得到距离之积为1的表达式,解出的值,由于的值存在,所以存在点,写出坐标即可.
试题解析:(I)设,则有,
由最小值为得,
∴椭圆的方程为 4分
(II)把的方程代入椭圆方程得
∵直线与椭圆相切,∴,化简得
同理可得:
∴,若,则重合,不合题意,
∴,即 8分
设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则
,即,
把代入并去绝对值整理,或者
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立
则,解得;
综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为或 . 12分
核心考点
试题【设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为.(I)求椭圆的方程;(II)设直线(直线、不重合),若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,使】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线交于两点,设线段的中垂线与轴交于点 ,求的取值范围.
(1)若点为中点,求直线的方程;
(2)设抛物线的焦点为,当时,求的面积.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点,若轴上一点满足,求直线的斜率的值.
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