题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明和均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
(3)椭圆上是否存在点,使得?若存在,判断△的形状;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)先检验直线斜率不存在的情况,后假设直线的方程,利用弦长公式求出的长,利用点到直线的距离公式求点到直线的距离,根据三角形的面积公式,即可求得与均为定值;(2)由(1)可求线段的中点的坐标,代入并利用基本不等式求最值;(3)假设存在,使得,由(1)得,,从而求得点的坐标,可以求出直线的方程,从而得到结论.
试题解析:(1)当直线的斜率不存在时,P,Q两点关于轴对称,所以
因为在椭圆上,因此 ①
又因为所以 ②
由①、②得,此时 2分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为
由题意知,将其代入,得
其中即 (*)
又
所以
因为点到直线的距离为
所以
又,整理得,且符合(*)式
此时
综上所述,结论成立 5分
(2)解法一:
(1)当直线的斜率不存在时,由(I)知
因此 6分
(2)当直线的斜率存在时,由(I)知
所以
所以,当且仅当,即时,等号成立
综合(1)(2)得的最大值为 9分
解法二:因为
所以
即当且仅当时等号成立
因此的最大值为 9分
(3)椭圆C上不存在三点,使得 10分
证明:假设存在满足
由(I)得
解得
所以只能从中选取,只能从中选取
因此只能在这四点中选取三个不同点
而这三点的两两连线中必有一条过原点
与矛盾
所以椭圆上不存在满足条件的三点 14分.
核心考点
试题【已知动直线与椭圆交于、两不同点,且△的面积=,其中为坐标原点.(1)证明和均为定值;(2)设线段的中点为,求的最大值;(3)椭圆上是否存在点,使得?若存在,判断】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆方程;
(2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为. ①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;
②设与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若是轨迹上异于点的一个点,且,直线与交于点,问:是否存在点,使得和的面积满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
⑴求椭圆与椭圆的方程;
⑵设点为椭圆的左顶点,点为椭圆的下顶点,若直线刚好平分,求点的坐标;
⑶若点在椭圆上,点满足,则直线与直线的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
(1)求双曲线的方程;
(2)设直线交双曲线于、两点,且线段被圆:三等分,求实数、的值
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