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题目
题型:不详难度:来源:
已知为椭圆的左右焦点,是坐标原点,过作垂直于轴的直线交椭圆于,设 .
(1)证明: 成等比数列;
(2)若的坐标为,求椭圆的方程;
(3)在(2)的椭圆中,过的直线与椭圆交于两点,若,求直线的方程.
答案
(1)详见解析;(2);(3)
解析

试题分析:(1)由条件知M点的坐标为(c,y0),其中|y0|=d,知,d=b•,由此能证明d,b,a成等比数列.
(2)由条件知c=,d=1,知b2=a−1,a2=b2+2,由此能求出椭圆方程.
(3)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),当l⊥x轴时,A(-,-1)、B(-,1),所以≠0. 设直线的方程为y=k(x+),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2−4=0再由韦达定理能够推导出直线的方程.
试题解析:(1)证明:由条件知M点的坐标为,其中
,即成等比数列.   3分
(2)由条件知椭圆方程为 6分
(3)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),当l⊥x轴时,A(-,-1)、B(-,1),所以≠0. 设直线的方程为y=k(x+),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2−4=0所以①由
整理后把①式代入解得k=
所以直线l的方程为.
核心考点
试题【已知为椭圆的左右焦点,是坐标原点,过作垂直于轴的直线交椭圆于,设 .(1)证明: 成等比数列;(2)若的坐标为,求椭圆的方程;(3)在(2)的椭圆中,过的直线与】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
设椭圆的右焦点为,直线轴交于点,若(其中为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上的任意一点,为圆的任意一条直径(为直径的两个端点),求的最大值.
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如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,过的直线交椭圆于两点, 的周长为8,且面积最大时,为正三角形.

(1)求椭圆的方程;
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点,证明:点在以为直径的圆上.
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设椭圆的左、右焦点分别为上的点 ,,则椭圆的离心率为(   )
A.B.C.D.

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已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点是,又点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线的斜率为,若直线与椭圆交于两点,求面积的最大值.
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已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
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