题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点是，又点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程;
（2）已知直线的斜率为，若直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值．

答案

（1）；（2）面积的最大值为.

解析

试题分析：（1）根据椭圆的焦点可设椭圆的方程，然后将代入可求解得，从而可确定椭圆的方程；（2）设直线的方程及，联立直线与椭圆的方程，消去得到，先由确定的取值范围，然后根据二次方程根与系数的关系得到，从而由公式计算出，再由点到直线的距离公式计算出点到的距离为，最后得到，利用基本不等式可得面积的最大值.
试题解析：（1）由已知椭圆的焦点为，故设椭圆方程为   2分
将点代入方程得，整理得   4分
解得或（舍），故所求椭圆方程为    6分
（2）设直线的方程为，设    7分
代入椭圆方程并化简得    9分
由，可得①
由    11分
故
又点到的距离为        13分
故
当且仅当，即时取等号（满足①式）
所以面积的最大值为           15分.