题目

题型：不详难度：来源：

(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
已知抛物线，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．
(1)若直线l与抛物线交于两点A、B，且(O是坐标原点，M是垂足)，求动点M的轨迹方程；
(2)若C、D两点在抛物线上，且满足，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标．

答案

所求动点M的轨迹方程是()．
直线CD的方程可化为． 直线CD恒过定点，且定点坐标为(2，0)．

解析

(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
解　(1) 设动点M的坐标为．                 …………………1分
∵抛物线的焦点是，直线l恒过点F，且与抛物线交于两点A、B，
又，
∴．                    …………………3分
∴，化简，得．  …………………5分
又当M与原点重合时，直线l与x轴重合，故．
∴所求动点M的轨迹方程是()．
(2) 设点C、D的坐标为、．      …………………………6分
∵C、D在抛物线上，
∴，，即，．
又，
∴．     ………8分
∵点C、D的坐标为、，
∴直线CD的一个法向量是，可得直线CD的方程为：
　　，化简，得
，进一步用，有
．
又抛物线上任两点的纵坐标都不相等，即．
∴直线CD的方程可化为．    ………………………10分
∴直线CD恒过定点，且定点坐标为(2，0)．     ………………………12分