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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
已知抛物线和点,若抛物线上存在不同两点满足
(1)求实数的取值范围;
(2)当时,抛物线上是否存在异于的点,使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
答案

解法1:(1)不妨设AB,且
,∴
.…………………4分
),即
,即的取值范围为.…………………6分
(2)当时,由(1)求得.的坐标分别为.
假设抛物线上存在点),…………8分
使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.
设经过..三点的圆的方程为
 
整理得.      ①…………9分
∵函数的导数为
∴抛物线在点处的切线的斜率为
∴经过..三点的圆在点处的切线
斜率为.………10分
,∴直线的斜率存在.
∵圆心的坐标为

.      ②…………………12分
,由①.②消去,得

,∴
故满足题设的点存在,其坐标为.…………………14分
解法2:(1)设两点的坐标为,且
,可得的中点,
.…………………2分
显然直线轴不垂直,
设直线的方程为
,…………………3分
代入中,
. …………………4分
 ∴
的取值范围为.     …………………6分
(2)当时,由(1)求得的坐标分别为.  
假设抛物线上存在点),
使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.
设圆的圆心坐标为
  

               …………………8分
解得  …………………10分
∵抛物线在点处切线的斜率为
,且该切线与垂直,∴.   
.…………………12分
代入上式,

 
,∴
故满足题设的点存在,其坐标为.    …………………14分
解析

核心考点
试题【(本小题满分14分)已知抛物线:和点,若抛物线上存在不同两点、满足.(1)求实数的取值范围;(2)当时,抛物线上是否存在异于、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
是抛物线上任意两点(非原点),当最小时,所在两条直线的斜率之积的值为(     )
A.B.C.D.

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设抛物线,直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,交于两点, 的准线上一点,若的面积为,则(   )
A.B.C.D.

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设抛物线,直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,交于两点,若的准线上一点,的面积为,则(   )
A.B.C.D.

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四边形ABCD的四个顶点都在抛物线上,A,C关于轴对称,BD平行于抛物线在点C处的切线。
(Ⅰ)证明:AC平分
(Ⅱ)若点A坐标为,四边形ABCD的面积为4,求直线BD的方程。
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已知抛物线的焦点为,直线与此抛物线相交于两点,则(      )
A.B.C.D.

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