题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线:和点,若抛物线上存在不同两点、满足.
(1)求实数的取值范围;
(2)当时,抛物线上是否存在异于、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
答案
解法1:(1)不妨设A,B,且,
∵,∴.
∴,.…………………4分
∵(),即,
∴,即的取值范围为.…………………6分
(2)当时,由(1)求得.的坐标分别为..
假设抛物线上存在点(且),…………8分
使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.
设经过..三点的圆的方程为,
则
整理得. ①…………9分
∵函数的导数为,
∴抛物线在点处的切线的斜率为,
∴经过..三点的圆在点处的切线
斜率为.………10分
∵,∴直线的斜率存在.
∵圆心的坐标为,
∴,
即. ②…………………12分
∵,由①.②消去,得.
即.
∵,∴.
故满足题设的点存在,其坐标为.…………………14分
解法2:(1)设,两点的坐标为,且。
∵,可得为的中点,
即.…………………2分
显然直线与轴不垂直,
设直线的方程为,
即,…………………3分
将代入中,
得. …………………4分
∴ ∴.
故的取值范围为. …………………6分
(2)当时,由(1)求得,的坐标分别为.
假设抛物线上存在点(且),
使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.
设圆的圆心坐标为,
∵
∴
即 …………………8分
解得 …………………10分
∵抛物线在点处切线的斜率为,
而,且该切线与垂直,∴.
即.…………………12分
将,代入上式,
得.
即
∵且,∴.
故满足题设的点存在,其坐标为. …………………14分
解析
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知抛物线:和点,若抛物线上存在不同两点、满足.(1)求实数的取值范围;(2)当时,抛物线上是否存在异于、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)证明:AC平分;
(Ⅱ)若点A坐标为,四边形ABCD的面积为4,求直线BD的方程。
A. | B. | C. | D. |
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