题目

题型：不详难度：来源：

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分．曲线C₂是以O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|＝，|AF₂|＝．

(1)求曲线C₁和C₂的方程；
(2)设点C是C₂上一点，若|CF₁|＝|CF₂|，求△CF₁F₂的面积．

答案

（1）曲线C₁的方程为＋＝1(－3≤x≤)，曲线C₂的方程为y²＝4x(0≤x≤)
（2）2

解析

(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝|AF₁|＋|AF₂|＝＋＝6，得a＝3．
设A(x，y)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)，则(x＋c)²＋y²＝()²，(x－c)²＋y²＝()²，两式相减得xc＝．由抛物线的定义可知|AF₂|＝x＋c＝，
则c＝1，x＝或x＝1，c＝．又∠AF₂F₁为钝角，
则x＝1，c＝不合题意，舍去．当c＝1时，b＝2，
所以曲线C₁的方程为＋＝1(－3≤x≤)，曲线C₂的方程为y²＝4x(0≤x≤)．
(2)过点F₁作直线l垂直于x轴，过点C作CC₁⊥l于点C₁，依题意知|CC₁|＝|CF₂|．
在Rt△CC₁F₁中，|CF₁|＝|CF₂|＝|CC₁|，所以∠C₁CF₁＝45°，

所以∠CF₁F₂＝∠C₁CF₁＝45°．
在△CF₁F₂中，设|CF₂|＝r，则|CF₁|＝r，|F₁F₂|＝2．
由余弦定理得2²＋(r)²－2×2×rcos45°＝r²，
解得r＝2，
所以△CF₁F₂的面积S△CF₁F₂＝|F₁F₂|·|CF₁|sin45°＝×2×2sin45°＝2．