题目
题型:不详难度:来源:
(1)求直线及抛物线的方程;
(2)过点的任一直线(不经过点)与抛物线交于、两点,直线与直线相交于点,记直线,,的斜率分别为,, .问:是否存在实数,使得?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:
(1)把点P的坐标带入抛物线方程即可求出抛物线方程,而直线l方程的求解有两种方法,法1,可以考虑求出既与抛物线相切,又与直线l平行的直线,该直线与直线l的距离即为抛物线上的点到直线l的最短距离,进而可以求的相应的b值。法二,可以设抛物线上任意一点为,列出点到直线l的距离公式,再利用二次函数的最值即可得到相应的b值。
(2)直线AB经过点Q且不经过P,所以直线AB斜率存在且利用点斜式设出直线方程,联立直线与抛物线方程,得到关于A,B横坐标或者纵坐标的韦达定理,进而利用AB直线的斜率表示PA,PB直线的斜率,再联立直线AB与直线l,用AB直线斜率表示PM直线的斜率,得到关于AB直线斜率的表达式,带入即可求的的值.
试题解析:
(1)(法一)点在抛物线上, . 2分
设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为,
由 得,
,
由,得,则直线方程为.
两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离,
有,解得或(舍去).
直线的方程为,抛物线的方程为. 6分
(法二)点在抛物线上, ,抛物线的方程为. 2分
设为抛物线上的任意一点,点到直线的距离为,根据图象,有,,
,的最小值为,由,解得.
因此,直线的方程为,抛物线的方程为. 6分
(2)直线的斜率存在,设直线的方程为,即,
由 得,
设点、的坐标分别为、,则,,
,, 9分
. 10分
由 得,,
, 13分
.
因此,存在实数,使得成立,且. 14分
核心考点
试题【如图,直线,抛物线,已知点在抛物线上,且抛物线上的点到直线的距离的最小值为.(1)求直线及抛物线的方程;(2)过点的任一直线(不经过点)与抛物线交于、两点,直线】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.x+2y+3=0 | B.x-2y-5=0 |
C.2x+y=0 | D.2x-y-5=0 |
A.4 | B.6 | C.4 | D.6 |
(1)求抛物线C的方程;
(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A、B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
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