题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且和有且只有一个公共点,
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(I)由抛物线的定义知,
解得或(舍去).得.抛物线C的方程为.
(II)(ⅰ)由(I)知,
设,
可得,即,直线AB的斜率为,
根据直线和直线AB平行,可设直线的方程为,
代入抛物线方程得,
整理可得,
直线AE恒过点.
注意当时,直线AE的方程为,过点,
得到结论:直线AE过定点.
(ⅱ)由(ⅰ)知,直线AE过焦点,
得到,
设直线AE的方程为,
根据点在直线AE上,
得到,再设,直线AB的方程为,
可得,
代入抛物线方程得,
可求得,,
应用点B到直线AE的距离为.
从而得到三角形面积表达式,应用基本不等式得到其最小值.
试题解析:(I)由题意知
设,则FD的中点为,
因为,
由抛物线的定义知:,
解得或(舍去).
由,解得.
所以抛物线C的方程为.
(II)(ⅰ)由(I)知,
设,
因为,则,
由得,故,
故直线AB的斜率为,
因为直线和直线AB平行,
设直线的方程为,
代入抛物线方程得,
由题意,得.
设,则,.
当时,,
可得直线AE的方程为,
由,
整理可得,
直线AE恒过点.
当时,直线AE的方程为,过点,
所以直线AE过定点.
(ⅱ)由(ⅰ)知,直线AE过焦点,
所以,
设直线AE的方程为,
因为点在直线AE上,
故,
设,
直线AB的方程为,
由于,
可得,
代入抛物线方程得,
所以,
可求得,,
所以点B到直线AE的距离为
.
则的面积,
当且仅当即时等号成立.
所以的面积的最小值为16.
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. 1 | B. 2 | C. 4 | D. 8 |
A. | B. | C.8 | D. |
A.圆 | B.双曲线 | C.椭圆 | D.抛物线 |
(1)为定值;
(2) 为定值.
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