题目

题型：湖南省期中题难度：来源：

抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的负半轴上，过点M（0，-2）作直线l与抛物线C交于A，B两点，且满足=（-4，-12）。
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）当抛物线C上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP的面积的最大值；
（3）在抛物线C上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意可设所求直线l的方程为y=kx-2，所求抛物线的方程为，由，消去y得：，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
∴
∵，
∴，
解得，
故直线l的方程为y=2x-2，
抛物线的方程为x²=-2y；
（2）据题意，当抛物线过点P的切线m与直线l平行时，△ABP的面积最大，
此时切线m的方程为y=2x+b，由消去y，整理得：，
∵，
∴b=2，
m的方程为y=2x+2，即y=2x+2，
此时点P到直线l的距离为，

由消去y得：
故，
所以△ABP的最大面积为=；
（3）在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点，
假设在抛物线C存在相异两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线l对称，
则直线AB的方程为
由，消去y得：，，
于是可得AB的中点M的坐标为（），又点M在直线l上，所以，即，AB的方程为，而此时△=7>0，即直线AB与抛物线C有两个相异公共点，
综上所述，在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点。