题目

题型：海南省模拟题难度：来源：

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A、B两点，抛物线的准线与x轴交于点C， 
（1）证明：∠ACF=∠BCF；  
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值时线段AB的长。

答案

解：（Ⅰ）由题设知，F，C，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l方程为x＝my＋，
代入抛物线方程y²＝2px，得y²－2pmy－p²＝0，
y₁＋y₂＝2pm，y₁y₂＝－p²，
不妨设y₁＞0，y₂＜0，
则，
，
∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF。
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y₁＞0，tan∠ACF＝＝1，
当且仅当y₁＝p时取等号，
此时∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，
并且A（，p），B（，－p），|AB|＝2p。