题目
题型:北京模拟题难度:来源:
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(Ⅱ)证明:曲线C在点N处的切线与AB平行;
(Ⅲ)若曲线C上存在关于直线l对称的两点,求k的取值范围.
答案
(Ⅰ)解:由已知,动点P到定点F的距离与动点P到直线
的距离相等,
由抛物线定义可知,动点P的轨迹为以为焦点,直线
为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为y=x2.
(Ⅱ)证明:设,
由,得
,
所以,
设,则
,
因为MN⊥x轴,所以N点的横坐标为,
由y=x2,可得y′=2x,所以当x=时,y′=k,
所以曲线C在点N处的切线斜率为k,与直线AB平行.
(Ⅲ)解:由已知,k≠0,设直线l的垂线为l′:,
代入y=x2,可得, (*)
若存在两点关于直线l对称,则
,
又在l上,
所以,
由方程(*)有两个不等实根,
所以,即
,
所以,解得
或
。
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点F(0,)的距离比点P到x轴的距离大,设动点P的轨迹为曲线C,直线l:y=kx+1交曲线C于A,B两点,M是线段AB的中点】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若
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B、y2=±8x
C、y2=4x
D、y2=8x
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B.y2=4x
C.y2=16x
D.y2=4
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(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B,与y轴交于点P,且
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