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题目
题型:不详难度:来源:
已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.
(Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标;
(Ⅱ)已知O为原点,求证:∠MON为定值.
答案
(本小题满分14分)
(Ⅰ)将E(2,2)代入y2=2px,得p=1,
所以抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为(
1
2
,0).…(3分)
(Ⅱ)证明:设A(
y12
2
,y1),B(
y22
2
,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),
因为直线l不经过点E,所以直线l一定有斜率
设直线l方程为y=k(x-2),
与抛物线方程联立得到





y=k(x-2)
y2=2x
,消去x,得:
ky2-2y-4k=0,
则由韦达定理得:
y1y2=-4,y1+y2=
2
k
,…(6分)
直线AE的方程为:y-2=
y1-2
y12
2
-2
(x-2)

即y=
2
y1+2
(x-2)+2

令x=-2,得yM=
2y1-4
y1+2
,…(9分)
同理可得:yN=
2y2-4
y2+2
,…(10分)
又∵


OM
=(-2,yM)


ON
=(-2,-
4
yM
)

所以


OM


ON
=4+yMyN=4+
2y1-4
y1+2
2y2-4
y2+2

=4+
4[y1y2-2(y1+y2)+4]
[y1y2+2(y1+y2)+4]

=4+
4(-4-
4
k
+4)
4(-4+
4
k
+4)
=0…(13分)
所以OM⊥ON,即∠MON为定值
π
2
…(14分).
核心考点
试题【已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.(Ⅰ】;主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线与直线y=2x+1交于P、Q两点,|PQ|=


15
,求抛物线的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知双曲线
x2
4
-
y2
5
=1
,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为______
题型:上海难度:| 查看答案
顶点在原点,以x轴为对称轴且经过点M(-2,3)的抛物线的标准方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知A、B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分.   
(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)求直线AB的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
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