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题目
题型:不详难度:来源:
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-


3
2
,0)
F2(


3
2
,0)
,点P是第一象限内双曲线上的点,且tan∠PF1F2=
1
2
,tan∠PF2F1=-2,则双曲线的离心率为______.
答案
∵△PF1F2中,sin∠PF1F2


5
5
,sin∠PF1F2
2


5
5

∴由正弦定理得
PF1
PF2
=
sin∠PF2F1 
sin∠PF1F2
=2
,…①
又∵tan∠PF1F2=
1
2
,tan∠PF2F1=-2,
∴tan∠F1PF2=-tan(∠PF2F1+∠PF1F2)=-
1
2
-2
1+
1
2
×2
=
3
4
,可得cos∠F1PF2=
4
5

△PF1F2中用余弦定理,得PF12+PF22-2PF1•PF2cos∠F1PF2=F1F22=3,…②
①②联解,得PF1=
2


15
3
,PF2=


15
3
,可得PF1-PF2=


15
3

∴双曲线的2a=


15
3
,结合2c=


3
,得离心率e=
2c
2a
=
3


5
5

故答案为:
3


5
5
核心考点
试题【已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-32,0)、F2(32,0),点P是第一象限内双曲线上的点,且tan∠PF1F2=12,t】;主要考察你对双曲线的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
双曲线的中心在坐标原点,离心率等于2,一个焦点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是______.
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设双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点,点F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点,点M、N是双曲线C的右支上不同两点,点Q为线段MN的中点.已知在双曲线C上存在一点P,使得


PA
+


PB
+


PF2
=(


3
-3)


OP

(Ⅰ)求双曲线C的离心率;
(Ⅱ)设a为正常数,若点Q在直线y=2x上,求直线MN在y轴上的截距的取值范围.
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为
a2
2
(O为原点),则两条渐近线的夹角为______.
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若双曲线
x2
8
-
y2
b2
=1
的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合,则双曲线的离心率为______.
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已知两个点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”,给出下列直线:①y=x+1;②y=
4
3
x
;③y=2;④y=2x+1.其中为“B型直线”的是______.(填上所有正确结论的序号)
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