题目
题型:不详难度:来源:
(1)求直线AB的方程;
(2)若过N的直线交双曲线于C、D两点,且·=0,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
答案
解析
设直线AB:y=k(x-1)+2,代入x2-=1
得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2="0. " (*)
令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两根,
∴2-k2≠0且x1+x2=.
∵=(+),∴N是AB的中点,∴=1,
∴k(2-k)=-k2+2,k=1,
∴直线AB的方程为y=x+1.
(2)将k=1代入方程(*)得x2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3,
∴不妨设A(-1,0),B(3,4).
∵·=0,∴CD垂直平分AB,
∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,
即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,
令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)
则x3+x4=-6,x3·x4=-11,
∴x0==-3,y0=6,即M(-3,6).
|CD|=|x3-x4|==4;
|MC|=|MD|=|CD|=2,
|MA|=|MB|=2,
即A、B、C、D到M距离相等,∴A、B、C、D四点共圆.
核心考点
试题【已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-=1于A、B两点,且=(+).(1)求直线AB的方程;(2)若过N的直线交双曲线于C、D两点,且·=0,那么A、B】;主要考察你对双曲线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程;
(2)若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2为定值,
并求此定值.
(1)求双曲线的方程;
(2)设Q是双曲线上的点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若+2=0,求直线l的斜率.
(1)若双曲线经过P(,2),求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是2,求双曲线方程;
(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程.
A.相交 | B.内切 | C.外切 | D.相离 |
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