题目

题型：0103 期末题难度：来源：

在双曲线C：中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到一条渐近线的距离为1。
（1）求该双曲线的方程；
（2）若直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。

答案

解：（1）由题意，得，
解得：a=，b=1，
∴所求双曲线方程为。
（2）
联立，
得，
，
化简，得，
∴，
∵以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（，0），
∴，
即，
又，
即，
整理，得，
，
当时，L的方程为，直线过定点（，0)，与已知矛盾；
当时，L的方程为，直线过定点（2，0）； 
∴直线L过定点，定点坐标为（2，0）。