题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，
（1）F₁，F₂是左右两焦点，过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点M(

2

，1)，求双曲线方程．
（2）若y=kx+1与（1）中双曲线左支交于A，B，有一直线l过AB中点和L（-2，0），求l在y轴上截距取值范围．

答案

（1）∵过右焦点与x轴垂直的直线与双曲线交于点M(

2

，1)，
∴c=

2

，
设所求的双曲线为

x2

a2

-

y2

2-a2

=1，
把点M(

2

，1)代入，得a²=1，
∴双曲线方程x²-y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB中点（x₀，y₀）
(2)

x2-y2=1 y=kx+1

，（1-k²）x²-2kx-2=0，
x0=

k

1-k2

，y0=

1

1-k2

，
∵x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，
△＞0，k∈(1，

2

)，l，y=

1 1-k2

k 1-k2

(x+2)(2′)（2′）
l，y=

1

k+2-2k2

(x+2)，x=0，y=

2

k+2-2k2

=

2

-2(k- 1 4 )2+ 17 8

，
∵k∈(1，

2

)，∴y∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)（5′）