题目

题型：惠州二模难度：来源：

从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F₁，A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且

AB

=λ

OP

(λ＞0)．
（1）求该椭圆的离心率．
（2）若该椭圆的准线方程是x=±2

5

，求椭圆方程．

答案

（1）∵

AB

=λ

OP

，
∴AB∥OP，
∴△PF₁O∽△BOA，
∴

|PF1|

|BO|

=

|FO1|

|OA|

=

c

a

⇒|PF1|=

bc

a

，（2分）
又P(-c，y)⇒

c2

a2

+

|PF1|

b2

=1⇒|PF1|=

b2

a

，
∴b=c，（4分）
而a²=b²+c²
∴a2=2c2⇒e=

2

2

．（8分）
（2）∵x=±2

5

为准线方程，
∴

a2

c

=2

5

⇒a2=2

5

c，（10分）
由

a2=2 5 c b=c a2=b2+c2

⇒

a2=10 b2=5

．（12分）
∴所求椭圆方程为

x2

10

+

y2

5

=1．（14分）