题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C 1：

x2

a2

+

y2

b2

=λ1（a＞b＞0，λ₁＞0）和双曲线C 2：

x2

m2

-

y2

n2

=λ2(λ2≠0)，给出下列命题：
①对于任意的正实数λ₁，曲线C₁都有相同的焦点；
②对于任意的正实数λ₁，曲线C₁都有相同的离心率；
③对于任意的非零实数λ₂，曲线C₂都有相同的渐近线；
④对于任意的非零实数λ₂，曲线C₂都有相同的离心率．
其中正确的为（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

答案

对于任意的正实数λ₁，椭圆C 1：

x2

a2

+

y2

b2

=λ1（a＞b＞0，λ₁＞0）
可知，c²=λ1a2-λ1b2，离心率的平方e²=

c2

λ1a2

=

a2-b2

a2

，
故对于任意的正实数λ₁，曲线C₁不都有相同的焦点；曲线C₁都有相同的离心率．
对于任意的非零实数λ₂，双曲线C 2：

x2

m2

-

y2

n2

=λ2(λ2≠0)，
可知曲线C₂都有相同的渐近线

x

m

=±

y

n

；
但是当λ₂＞0时，离心率的平方e²=

c2

λ2m2

=

m2+n2

m2

，
当λ₂＜0时，离心率的平方e²=

c2

λ2n2

=

m2+n2

n2

，
∴对于任意的非零实数λ₂，曲线C₂都有相同的渐近线；曲线C₂不都有相同的离心率．
故选C．