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题目
题型:不详难度:来源:
设F1、F2分别是椭圆
x2
4
+y2=1
的左、右焦点.
(1)求椭圆
x2
4
+y2=1
的焦点坐标、离心率及准线方程;
(2)若P是该椭圆上的一个动点,求


PF1


PF2
的最大值和最小值;
(3)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
答案
(1)易知a=2,b=1,c=


3

F1(-


3
,0),F2(


3
,0)

∴离心率e=


3
2
,椭圆的准线方程为x=±
4


3
3

(2)解法一:设P(x,y),则


PF1


PF2
=(-


3
-x,-y)•(


3
-x,-y)
=x2+y2-3
=x2+1-
x2
4
-3

=
3x2-8
4

因为x∈[-2,2]
故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,


PF1


PF2
有最小值-2;
当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,,


PF1


PF2
有最大值1.
解法二:
(2)易知a=2,b=1,c=


3

F1(-


3
,0),F2(


3
,0)

设P(x,y),则,


PF1


PF2
=|


PF1
|•|


PF2
|•cos∠F1PF2

=|


PF1
||


PF2
|
|


PF1
|
2
+|


PF2
|
2
-|


F1F2
|
2
2|


PF1
| |


PF2
|

=
1
2
[(x+


3
)
2
+y2+(x-


3
)
2
+y2-12]

=x2+y2-3
(以下同解法一).
(3)显然直线x=0不满足题设条件.
可设直l:y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2
联立





y=kx-2
x2
4
+y2=1
,消去y,整理得:(k2+
1
4
)x2 +4kx+3=0

x1+x2=-
4k
k2+
1
4
x1x2=
-3
k2+
1
4

△=(4k)2-4(k 2
1
4
)×3
=4k2-3>0得:k<
-


3
2
k>


3
2

又∵0°<∠AOB<90°
∴cos∠AOB>0


OA


OB
=x1x2+y1y2>0
又∵y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
=
3k2
k2+
1
4
+
-8k2
k2+
1
4
=
1-k2
k2+
1
4

3
k2+
1
4
+
1-k2
k2+
1
4
>0
,即k2<4,
∴-2<k<2②
故由①②得-2<k<-


3
2
,或


3
2
<k<2
核心考点
试题【设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.(1)求椭圆x24+y2=1的焦点坐标、离心率及准线方程;(2)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1•PF2的】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
求经过两点(


15
2
,1)
,(0,-2)的椭圆标准方程,写出椭圆的焦点坐标,离心率,准线方程.
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(A题) (奥赛班做)已知椭圆E的离心率为e,左右焦点分别为F1、F2,抛物线C以F1顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个交点,
|PF1|
|PF2|
=e
,则e的值为______.
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过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点,则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2,那么△ABF2的周长是(  )
A.2B.2


2
C.


2
D.1
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已知椭圆的准线平行于x轴,长轴长是短轴长的3倍,且过点(2,3).
(Ⅰ)求椭圆的离心率; 
(Ⅱ)求椭圆的标准方程,并写出准线方程.
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椭圆
x2
3
+
y2
2
=1
内有一点P(1,1),一直线过点P与椭圆相交于P1,P2两点,弦P1P2被点P平分,则直线P1P2的方程为______.
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