题目
题型:不详难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G(t,0),求点G横坐标的取值范围.
(Ⅲ)试用表示△GAB的面积,并求△GAB面积的最大值.
答案
∴b=1,
∵e2=
c2 |
a2 |
a2-b2 |
a2 |
a2-1 |
a2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
∴a2=2a2-2,
∴a2=2,a=
2 |
∴椭圆E的方程为
x2 |
2 |
(Ⅱ)解法一:设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入
x2 |
2 |
∵直线AB过椭圆的右焦点F2,
∴方程有两个不等实根.
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),
则x1+x1=
4k2 |
2k2+1 |
1 |
2 |
2k2 |
2k2+1 |
k |
2k2+1 |
∴AB垂直平分线NG的方程为y-y0=-
1 |
k |
令y=0,得t=x0+ky0=
2k2 |
2k2+1 |
k2 |
2k2+1 |
k2 |
2k2+1 |
1 |
2 |
1 |
4k2+2 |
∵k≠0,∴0<t<
1 |
2 |
∴t的取值范围为(0,
1 |
2 |
解法二:设直线AB的方程为x=my+1,
由
|
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),
则y1+y2=
-2m |
m2+2 |
1 |
m2+2 |
可得y0=
y1+y2 |
2 |
-m |
m2+2 |
2 |
m2+2 |
∴AB垂直平分线NG的方程为y-y0=-m(x-x0).
令y=0,得t=x0+
y0 |
m |
2 |
m2+2 |
1 |
m2+2 |
1 |
m2+2 |
∵m≠0,∴0<m<
1 |
2 |
∴t的取值范围为(0,
1 |
2 |
(Ⅲ)解法一:S△GAB=
1 |
2 |
1 |
2 |
而|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2 |
| ||
2k2+1 |
∵0<t<
1 |
2 |
k2 |
k2+2 |
t |
1-2t |
1-t |
1-2t |
1 |
1-2t |
所以|x1-x2|=2
2 |
|
又|F2G|=1-t,
所以S△GAB=
1 |
2 |
|
2 |
|
2 |
(1-t)3t |
1 |
2 |
设f(t)=t(1-t)3,则f′(t)=(1-t)2(1-4t).
可知f(t)在区间(0,
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
所以,当t=
1 |
4 |
1 |
4 |
27 |
64 |
所以,当t=
1 |
4 |
3
| ||
8 |
解法二:S△GAB=
1 |
2 |
而|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2 |
| ||
m2+2 |
由t=
1 |
m2+2 |
1 |
t |
所以|y1-y2|=
|
8t(1-t) |
又|F2G|=1-t,
所以S△MPQ=
2t(1-t)3 |
所以△MPQ的面积为
2 |
t(1-t)3 |
1 |
2 |
设f(t)=t(1-t)3,
则f"(t)=(1-t)2(1-4t).
可知f(t)在区间(0,
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
所以,当t=
1 |
4 |
1 |
4 |
27 |
64 |
所以,当t=
1 |
4 |
3
| ||
8 |
核心考点
试题【已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=22,点D(0,1)在且椭圆E上,(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设过点F2】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
| ||
a2 |
| ||
|
A.(0,
| B.(
| C.(0,
| D.(
|
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
a2-b2 |
x2 |
4 |
y2 |
2 |
PF1 |
PF2 |
A.2个 | B.4个 | C.6个 | D.0个 |
9 |
2 |
5 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
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