在椭圆x225+y216=1中作内接矩形，则内接矩形的最大面积是______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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在椭圆

=1中作内接矩形，则内接矩形的最大面积是______．

答案

设椭圆内接矩形的第一象限的顶点坐标为P（x，y）
则由椭圆的对称性，此矩形的边长分别为2x，2y
∴内接矩形面积S=2x×2y=4xy
∵点P在椭圆上
∴

=1≥2×

∴xy≤10
∴S=4xy≤40
故答案为 40

核心考点

试题【在椭圆x225+y216=1中作内接矩形，则内接矩形的最大面积是______．】；主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

椭圆

=1(a＞b＞0)的两焦点为F₁、F₂，以F₁F₂为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为______．

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椭圆

=1的左、右焦点分别是F₁、F₂，若点M在椭圆上，且满足

MF1

⊥

MF2

，则△MF₁F₂面积为______．

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设m∈{2，5，8，9}，n∈{1，3，4，7}，方程

=1表示焦点在x轴上的椭圆，则满足以上条件的椭圆共有______．

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椭圆16x²+9y²=144的长轴长为______．

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给出下列命题：
①已知椭圆

=1的两个焦点为F₁，F₂，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）

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