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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,,原点到直线的距离为
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点,,过原点作直线的垂线,垂足为,求点的轨迹方程.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)点的轨迹方程为
解析
(Ⅰ)证法一:由题设,不妨设点,其中.由于点在椭圆上,有,即
解得,从而得到
直线的方程为,整理得
由题设,原点到直线的距离为,即
代入上式并化简得,即
证法二:同证法一,得到点的坐标为
过点,垂足为,易知,故
由椭圆定义得,又
所以
解得,而,得,即
(Ⅱ)解法一:设点的坐标为
时,由知,直线的斜率为,所以直线的方程为,或,其中
的坐标满足方程组
将①式代入②式,得
整理得
于是
由①式得

.将③式和④式代入得

代入上式,整理得
时,直线的方程为的坐标满足方程组
所以
,即
解得
这时,点的坐标仍满足
综上,点的轨迹方程为 
解法二:设点的坐标为,直线的方程为,由,垂足为,可知直线的方程为
(显然),点的坐标满足方程组
由①式得.      ③
由②式得.   ④
将③式代入④式得
整理得
于是.   ⑤
由①式得.   ⑥
由②式得.  ⑦
将⑥式代入⑦式得
整理得
于是.   ⑧
.将⑤式和⑧式代入得

代入上式,得
所以,点的轨迹方程为
核心考点
试题【(本小题满分14分)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,,原点到直线的距离为.(Ⅰ)证明;(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点,,过原点作直线的垂线,垂足为,求点的轨】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为F1F2.过F1的直线交椭圆于BD两点,过F2的直线交椭圆于AC两点,且ACBD,垂足为P.
(Ⅰ)设P点的坐标为,证明:
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.
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设椭圆上一点到左准线的距离为10,是该椭圆的左焦点,若点满足,则=       
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(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点PQ.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB,是否存在常数k,使得向量共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
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(本题14分)如图,直线与椭圆交于两点,记的面积为

(I)求在的条件下,的最大值;
(II)当时,求直线的方程.
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(本小题共13分)如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为

(I)求面积为自变量的函数式,并写出其定义域;
(II)求面积的最大值.
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