题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知直线过椭圆的右焦点，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于、两点，点、、 在直线上的射影依次为点、、．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l交y轴于点，且，当变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；
（3）连接、，试探索当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

答案

(1)
(2)
(3)

解析

解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点∴，
抛物线的焦点坐标
椭圆的方程
（Ⅱ）易知，且与轴交于，
设直线交椭圆于
由
∴
∴
又由
  同理
∴
∵               
∴
所以，当变化时， 的值为定值；
（Ⅲ）先探索，当时，直线轴，
则为矩形，由对称性知，与相交的中点，且，
猜想：当变化时，与相交于定点
证明：由（Ⅱ）知，∴
当变化时，首先证直线过定点，
方法1）∵
当时，

∴点在直线上，
同理可证，点也在直线上；
∴当变化时，与相交于定点
方法2）∵，


∴，∴、、三点共线，同理可得、、也三点共线；
∴当变化时，与相交于定点