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题目
题型:不详难度:来源:
(本题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点为,过点斜率为正数的直线交两点,且成等差数列。
(Ⅰ)求的离心率;
(Ⅱ)若直线y=kx(k<0)与交于C、D两点,求使四边形ABCD面积S最大时k的值。
答案
(Ⅰ)根据椭圆定义及已知条件,有
|AF2|+|AB|+|BF2|=4a,                                                                                           ①
|AF2|+|BF2|=2|AB|,                                                                                                  ②
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,                                                                                     ③…3分
由①、②、③,解得|AF2|=a,|AB|=a,|BF2|=a,
所以点A为短轴端点,b=c=a,Γ的离心率e==.…………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ),Γ的方程为x2+2y2=a2.                                          
不妨设C(x1,y1)、D(x2,y2)(x1<x2),
则C、D坐标满足
由此得x1=-,x2=.
设C、D两点到直线AB:x-y+a=0的距离分别为d1、d2
因C、D两点在直线AB的异侧,则
d1+d2=+=
===.………………………8分
∴S=|AB|( d1+d2)=·a·=·.
设t=1-k,则t>1,==,
当=,即k=-时,最大,进而S有最大值.……………………12分
解析

核心考点
试题【 (本题满分12分)已知椭圆的左、右焦点为,过点斜率为正数的直线交两点,且成等差数列。(Ⅰ)求的离心率;(Ⅱ)若直线y=kx(k<0)与交于C、D两点,求】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本小题满分12分)
设椭圆的焦点分别为,抛物线:的准线与轴的交点为,且
(I)求的值及椭圆的方程;
(II)过分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于四点(如图),
求四边形面积的最大值和最小值.

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已知椭圆:的左右焦点分别为,离心率为,两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于A, B两点,四边形为平行四边形,为坐标原点,且,求直线的方程.
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已知椭圆过点,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆的左右顶点,直线轴交于点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线两点.证明:当点在椭圆上运动时,恒为定值.
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已知椭圆过点,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆的左右顶点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线两点.证明:以线段为直径的圆恒过轴上的定点.
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如图,用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为  (     )
  
A.B.
C.D.

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