题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆,M是直线x=-4在x轴上方的一点,过M作圆O的两条切线,切点分别为P、Q,当∠PMQ=60°时,求直线PQ的方程.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)根据椭圆E:椭圆E:=1(a>b>o)的离心率e=,可得a2=2b2,利用椭圆E:=1经过点(,1)我们有 ,从而可求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)连接OM,OP,OQ,设M(-4,m),由圆的切线性质及∠PMQ=60°,可知△OPM为直角三角形且∠OMP=30°,从而可求M(-4,4),进而以OM为直径的圆K的方程为(x+2)2+(y-2)2=8与圆O:x2+y2=8联立,两式相减可得直线PQ的方程.
解:(1)椭圆的标准方程为: ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
(2)连接QM,OP,OQ,PQ和MO交于点A,
有题意可得M(-4,m),∵∠PMQ=600
∴∠OMP=300,∵,
∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分
∴直线OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OM⊥PQ,
,设直线PQ的方程为y=x+n ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
∵∠OMP=300,∴∠POM=600,∴∠OPA=300,
,即O到直线PQ的距离为, ﹍﹍﹍﹍10分
(负数舍去),∴PQ的方程为x-y+2=0. ﹍﹍﹍﹍12分
点评:解题的关键是确定M的坐标,进而确定以OM为直径的圆K的方程.
核心考点
试题【(本小题满分12分) 已知椭圆E:=1(a>b>o)的离心率e=,且经过点(,1),O为坐标原点。(Ⅰ)求椭圆E的标准方程; (Ⅱ)圆O是以椭圆E的长轴为直径的】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线过圆的圆心,交椭圆于两点,且关于点对称,求直线的方程。
A.(, | B.(, ) | C.(, | D.(, ) |
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)设动直线:与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
A. | B. | C. | D. |
A. | B. |
C. | D. |
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