题目
题型:不详难度:来源:
(1)若= (O为坐标原点),求|y1-y2|的值;
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QA,QB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解析
则有,则=-,
又点P在椭圆上,则=-,
∴b2=2,
∴椭圆C的方程是=1.(3分)
∵=,
∴|cos∠AOB=,
∴|sin∠AOB=4,
∴S△AOB=|sin∠AOB=2,
又S△AOB=|y1-y2|×1,故|y1-y2|=4.(7分)
(2)假设存在一点Q(m,0),使得直线QA,QB的倾斜角互为补角,
依题意可知直线l斜率存在且不为零,
直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
由消去y得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,(9分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=.
∵直线QA,QB的倾斜角互为补角,
∴kQA+kQB=0,即=0,(13分)
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
代入上式可得2x1x2+2m-(m+1)(x1+x2)=0,
∴2×+2m-(m+1)×=0,即2m-6=0,∴m=3,
∴存在Q(3,0)使得直线QA,QB的倾斜角互为补角.(16分)
核心考点
试题【已知椭圆C:=1(a>b>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2,P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-.设直线l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1,y1】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设P为椭圆C2上异于A1,A2的任意一点,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,线段PQ交椭圆C1于点H.求证:H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)
(1)求椭圆C的方程;
(2)设(m,n)是椭圆C上的任意一点,圆O:x2+y2=r2(r>0)与椭圆C有4个相异公共点,试分别判断圆O与直线l1:mx+ny=1和l2:mx+ny=4的位置关系.
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