题目

题型：不详难度：来源：

若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：＝1，A₁，A₂分别为椭圆C₁的左、右顶点．椭圆C₂以线段A₁A₂为短轴且与椭圆C₁为“相似椭圆”．
 
(1)求椭圆C₂的方程；
(2)设P为椭圆C₂上异于A₁，A₂的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C₁于点H.求证：H为△PA₁A₂的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)

答案

（1）＝1（2）见解析

解析

(1)由题意可知A₁(－，0)，A₂(，0)，
椭圆C₁的离心率e＝.(3分)
设椭圆C₂的方程为＝1(a＞b＞0)，则b＝.
因为＝，所以a＝2.
所以椭圆C₂的方程为＝1.(6分)
(2)设P(x₀，y₀)，y₀≠0，则＝1，从而＝12－2
将x＝x₀代入＝1得＝1，从而y²＝3－＝，即y＝±.
因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝，即H(x₀，)．(12分)
所以kA₁P·kA₂H＝＝－1，从而A₁P⊥A₂H.
又因为PH⊥A₁A₂，所以H为△PA₁A₂的垂心．(16分)