题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．

答案

解析

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m²＋9)y²＋16my－20＝0，所以y₁＋y₂＝，y₁y₂＝.
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA＋k_PB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x₁＝my₁＋2，x₂＝my₂＋2代入上式，整理得＝0，
所以2my₁y₂＋(2－a)(y₁＋y₂)＝0.将y₁＋y₂＝，y₁y₂＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.
综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.